设un=(-1)n ln(1+1/√n)，则级数【 】
A、un 和un2 都收敛B、un 和un2 都发散
C、un 收敛而un2 发散
D、un 发散而un2 收敛
根据给定的级数un = (-1)^n ln(1+1/√n)，我们可以分析un和un^2的收敛性。
首先考虑un的收敛性。我们注意到ln(1+1/√n)中的自然对数函数，当n趋向于正无穷时，它的值会趋近于0。因此，当n趋向于正无穷时，un的绝对值也会趋近于0。另外，序列(-1)^n交替取正负值，因此un的正负号也会交替变化。综合来看，un在n趋向于正无穷时会以交替的方式趋近于0，这表明un是一个收敛的级数。
接下来考虑un^2的发散性。我们注意到un = (-1)^n ln(1+1/√n)，那么un^2 = [(-1)^n ln(1+1/√n)]^2。通过展开并进行简化，我们得到un^2 = ln^2(1+1/√n)。当n趋向于正无穷时，1/√n趋近于0，所以ln^2(1+1/√n)趋近于ln^2(1) = 0。因此，当n趋向于正无穷时，un^2趋近于0。我们知道，如果一个数列趋近于0，则它是收敛的。所以un^2也是一个收敛的级数。
综上所述，选项C、un收敛而un^2发散是正确的答案。
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