求函数 f(x) = cos(x^2) 的傅里叶级数展开式。

小九九

傅里叶级数展开式是将一个复杂的周期函数表示为若干个简单的正弦函数或余弦函数的叠加。

对于函数 f(x) = cos(x^2)，它是一个以 2π 为周期的周期函数，可以考虑将其表示为傅里叶级数展开式。

首先，将 f(x) 写成如下形式：

f(x) = cos(x^2) = [cos(0^2) + cos(x^2 - 0^2)]/2

其中，cos(0^2) = 1 是常数项，cos(x^2 - 0^2) = cos(x^2) 是 x 的余弦函数。

其次，根据傅里叶级数展开式的公式，有

f(x) = a_0/2 + ∑_{n=1}^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]

其中，a_0 是常数项，a_n 和 b_n 是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：

a_n = 1/π * ∫_{-π}^π f(x)cos(nx)dx

b_n = 1/π * ∫_{-π}^π f(x)sin(nx)dx

将 f(x) = cos(x^2) 代入以上公式，得到

a_0 = 1/2 * ∫_{-π}^π cos(x^2)dx = 0

a_n = 1/π * ∫_{-π}^π cos(x^2)cos(nx)dx = 0 (n ≠ 0)

b_n = 1/π * ∫_{-π}^π cos(x^2)sin(nx)dx = (-1)^n * 2/π * ∫_{0}^π xsin(nx)dx

对于积分∫_{0}^π xsin(nx)dx，可以使用分部积分法进行计算：

∫_{0}^π xsin(nx)dx = [xcos(nx) - n∫_{0}^π cos(nx)dx]