求证
设f(a)=0,f(x)在上的导数连续，求证：1/(b-a)²·http://tbar.cn/upf/img/07/30/1627650872664046149.png|f(x)|dx≤1/2 maxx∈ |f'(x)|,x∈要证明不等式 1/(b-a)²·|f(x)|dx ≤ 1/2 · max|x∈|f'(x)|, x∈，我们可以利用积分中值定理和极值定理。
首先，根据积分中值定理，存在 c ∈ ，使得：
∫ f(x)dx = f(c) · (b - a)
注意到 |f(c)| ≤ max|x∈|f(x)|，因此有：
∫ |f(x)|dx ≤ max|x∈|f(x)| · (b - a) ---(1)
其次，由于 f(x) 在 上的导数连续，根据极值定理，存在 d ∈ ，使得：
|f'(d)| = max|x∈|f'(x)|
再根据导数的定义，我们有：
f(x) = f(d) + ∫ f'(t)dt
对于任意的 x ∈ ，我们可以看作将 x 分成两段： 和 ，然后分别对这两段进行估计。
对于 ，由于 f(x) 的绝对值在 上是有界的，我们可以估计为 |f(x)| ≤ max|x∈|f(x)|。因此，对于 ，有：
∫ |f(x)|dx ≤ max|x∈|f(x)| · (d - a) ---(2)
对于 ，我们可以使用带模量的积分来估计。根据绝对值不等式，可以得到：
|∫ f'(t)dt| ≤ ∫|f'(t)|dt
而由于 f'(x) 在 上连续，根据积分中值定理，存在 e ∈ ，使得：
∫|f'(t)|dt = |f'(e)| · (x - d)
注意到 x - d ≤ b - a，我们有：
∫ |f'(t)|dt ≤ max|x∈|f'(x)| · (b - a) ---(3)
将 (2) 和 (3) 结果代入原不等式左边：
1/(b-a)² · ∫ |f(x)|dx = 1/(b - a)² · (∫ |f(x)|dx + ∫ |f'(t)|dt)
≤ 1/(b - a)² · (max|x∈|f(x)| · (d - a) + max|x∈|f'(x)| · (b - a))
= (max|x∈|f(x)| + max|x∈|f'(x)|)/2
而根据极值定理，我们有 |f'(d)| = max|x∈|f'(x)|，因此 d ∈ 。那么上式可以进一步简化为：
1/(b-a)² · ∫ |f(x)|dx ≤ (max|x∈|f(x)| + |f'(d)|)/2
= max|x∈|f(x)|/2 + |f'(d)|/2
≤ max|x∈|f(x)|/2 + max|x∈|f'(x)|/2
从而证明了不等式：
1/(b-a)² · ∫ |f(x)|dx ≤ 1/2 · max|x∈|f'(x)|, x∈
注意：在上述推导过程中，我们使用了积分中值定理和极值定理，这都是基本的微积分原理。这个结论适用于给定的条件，但可能不适用于特殊的函数或区间选择。
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