叙述Egoroff定理.

小九九

Egoroff定理是实分析中的一个重要定理，它描述了函数序列的逐点几乎处处收敛性质。具体而言，Egoroff定理中给出了如下结论：

设X是一个测度空间，μ是在X上的测度。对于每个正整数n，设fn是X上的可测函数序列，并且对于几乎所有的x∈X，序列{fn(x)}收敛到一个有限的值f(x)。

那么，对于任意给定的正数ε，存在一个测度为μ的集合E，使得μ(E)小于δ（这里的δ可以取任意小于1的正数），并且在E的补集上，函数序列{fn(x)}一致收敛于函数f(x)，即对于任意给定的ε，存在一个正整数N(ε)，当n>N(ε)时，对于所有的x∈X\E，有|fn(x)-f(x)|<ε。

简而言之，Egoroff定理表明，对于几乎处处收敛的可测函数序列，可以找到一个测度足够小的集合，使得在该集合的补集上，函数序列一致收敛到某个函数。

这个定理的应用十分广泛，特别是在实分析、测度论和函数论等领域。它为逐点收敛性提供了一种更强的收敛方式，帮助我们理解函数序列的收敛性质。