下面的问题如何解答

小九九

题目：设函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2，请回答以下问题：
1. 求函数 f(x) 的导函数。
2. 求函数 f(x) 的极值点。
3. 判断函数 f(x) 的单调性。

小九九

1. 求函数 f(x) 的导函数。
为了求函数 f(x) 的导函数，我们需要对 f(x) 进行求导。根据导数的定义，对于任意可导函数 f(x)，其导函数记作 f'(x) 或 df/dx。

对于函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2，我们可以逐项求导得到导函数：
f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

2. 求函数 f(x) 的极值点。
要找到函数 f(x) 的极值点，我们需要找到使导函数 f'(x) 等于零的点。极值点可以是极大值点或极小值点。

将导函数 f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 置为零，并解方程得到：
3x^2 - 8x + 5 = 0

通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根：
x = 1 和 x = 5/3

所以，函数 f(x) 的极值点为 x = 1 和 x = 5/3。

3. 判断函数 f(x) 的单调性。
为了判断函数 f(x) 的单调性，我们可以观察导函数 f'(x) 的符号。如果 f'(x) 大于零，则函数 f(x) 在该区间上是递增的；如果 f'(x) 小于零，则函数 f(x) 在该区间上是递减的。

我们已经求得导函数 f'(x) = 3x^2 - 8x + 5。

接下来，我们可以找到 f'(x) 的零点或者判断其符号。由于 f'(x) 是一个二次函数，我们可以使用判别式来判断它的符号。

判别式 Δ = (-8)^2 - 4(3)(5) = 64 - 60 = 4 大于零，说明二次方程有两个不相等的实根。因此，导函数 f'(x) 在 x 轴两侧的符号情况如下：

当 x < 1 时， f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 > 0，即函数 f(x) 在区间 (-∞, 1) 上是递增的；
当 1 < x < 5/3 时， f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 < 0，即函数 f(x) 在区间 (1, 5/3) 上是递减的；
当 x > 5/3 时， f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 > 0，即函数 f(x) 在区间 (5/3, +∞) 上是递增的。

综上所述，函数 f(x) 在区间 (-∞, 1) 上是递增的，在区间 (1, 5/3) 上是递减的，在区间 (5/3, +∞) 上又是递增的。