求微分方程 y′ + 2y = 3 的通解。

小九九

将微分方程 y′ + 2y = 3 进行分离变量，得到

dy/dx + 2y = 3

将等式两边同时除以 2，得到

(1/2)dy/dx + y = 3/2

令 u = y/2，则上式可以写成

du/dx + u = 3/2

这是一个一阶线性微分方程，可以使用常数变易法进行求解。

设 u = e^(∫p dx)，其中 p 是待定的常数，则

du/dx = e^(∫p dx) * p

将其代入原方程中，得到

e^(∫p dx) * p + e^(∫p dx) = 3/2

化简得

pe^(∫p dx) = 3/2 - e^(∫p dx)

解出 p，得到

p = (3/2 - e^(∫p dx))/e^(∫p dx)

将 p 代回 u 的表达式中，得到

u = (3/2 - e^(∫p dx))/[2e^(∫p dx)]

将 u = y/2 代回 y 的表达式中，得到

y = 2u = (3 - 2e^(∫p dx))/e^(∫p dx)

这就是微分方程 y′ + 2y = 3 的通解。

其中，∫p dx 是一个待定的积分常数，可以通过给定微分方程的初始条件来确定。