求出简支梁在端点处受横向力作用时的振动频率和振型，

小九九

• 求出简支梁在端点处受横向力作用时的振动频率和振型，并与精确解进行比较。
  

小九九

下面是一个求简支梁在端点处受横向力作用时的振动频率和振型，并与精确解进行比较的例子。

考虑一个长度为 L 的简支梁，在端点 x = 0 和 x = L 处受到横向力 F 的作用。假设梁的弹性模量为 E，密度为 \rho ，截面惯性矩为 I。梁的挠度函数可以用贝塞尔函数表示为：
y(x, t) = \sum_{n = 1}^\infty [A_n \cos(\sqrt{\lambda_n} t) + B_n \sin(\sqrt{\lambda_n} t)] J_n(\sqrt{\lambda_n} x)
其中，J_n 是第 n 阶贝塞尔函数，\lambda_n 是第 n 阶振动频率，A_n 和 B_n 是待定系数。

边界条件为：
y(0, t) = 0, \quad y'(0, t) = 0
y(L, t) = 0, \quad y'(L, t) = 0
将边界条件代入挠度函数，得到：
A_n J_n(\sqrt{\lambda_n} L) = 0, \quad B_n \sqrt{\lambda_n} J_n'(\sqrt{\lambda_n} L) = 0
由于 J_n(x) 在 x = 0 处无奇异性，因此 A_n = 0。同时，由于 J_n'(x) 在 x = 0 处有奇异性，因此 B_n \sqrt{\lambda_n} = 0。因此，第 n 阶振动频率为：
\lambda_n = \frac{n^2 \pi^2}{L^2}
第 n 阶振型为：
y_n(x, t) = B_n \sin(\sqrt{\lambda_n} t) J_n(\sqrt{\lambda_n} x)
其中，B_n 是任意常数。

现在，我们可以将上述结果与精确解进行比较。精确解可以通过分离变量法得到，形式为：
y(x, t) = \sum_{n = 1