求集合M=（1，2，3.....100）的所有子集的和

小九九

集合M = {1, 2, 3, ..., 100} 包含 100 个元素。求所有子集的和可以通过遍历集合的所有可能子集，并将每个子集的元素求和来实现。由于集合M有2^100个子集，直接枚举将是不可行的。

然而，我们可以利用组合数学的性质来得到结果。观察我们的集合M，我们可以发现以下规律：

1. 对于任意一个元素x，它要么属于某个子集的和中，要么不属于。因此，每个元素x出现在子集和中的概率是1/2，不出现的概率也是1/2。
2. 对于集合M中的任意两个元素x和y，它们要么同时出现在某个子集的和中，要么都不出现。因此，它们共同出现在子集和中的概率是1/4，共同不出现的概率也是1/4。
3. 以此类推，对于k个元素的子集，它们同时出现在子集和中的概率是1/2^k ，共同不出现的概率也是1/2^k。

基于以上观察，我们可以得出以下结论：
- 集合M的所有子集的和等于每个元素乘以它出现在子集和中的概率的总和。

因此，集合M的所有子集的和可以通过计算每个元素与其出现的概率的乘积，并将所有乘积相加来获得。

让我们具体计算一下：

对于集合M的任意元素x，它出现在子集和中的概率是1/2，不出现的概率也是1/2。
因此，每个元素的贡献值为：

贡献值 = x * (1/2) = x/2

将集合M中的所有元素的贡献值相加，即可得到集合M的所有子集的和：

总和 = (1/2) * (1 + 2 + 3 + ... + 100) = (1/2) * [(100 + 1) * 100 / 2] = 101 * 50 = 5050

因此，集合M的所有子集的和为5050。