概率论与数理统计问题

小九九

根据题目描述，乘客在整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟时从电梯底层起行。乘客到达电梯底层候梯处的时间可以表示为 X 分钟，且 X 是服从区间 [0, 60] 上的均匀分布。

根据题意，我们可以计算出乘客等候时间的数学期望。乘客等候时间可以分为两种情况：

情况一：乘客到达电梯底层时刚好有电梯正在起行。
这种情况下，乘客的等候时间为整数小时后的第 5 分钟减去乘客到达电梯底层的分钟数。因为电梯每隔一个小时（60 分钟）才会起行一次，所以乘客等候时间为 60 - X + 5 = 65 - X 分钟。

情况二：乘客到达电梯底层时没有电梯正在起行。
这种情况下，乘客的等候时间为下一个整数小时的第 5 分钟减去乘客到达电梯底层的分钟数。因为乘客到达电梯底层的时间是随机的，所以乘客等候下一个整数小时的概率是 X / 60。因此，乘客等候时间为 (60 - X + 60) * (X / 60) = (120 - X) 分钟。

乘客等候时间的数学期望可以表示为：
E(X) = 情况一的等候时间的数学期望 + 情况二的等候时间的数学期望

情况一的等候时间的数学期望为 (65 - X) * (1 / 3) ，因为每隔一个小时有 1/3 的概率会遇到情况一。

情况二的等候时间的数学期望为 (120 - X) * (X / 60)，因为乘客到达电梯底层的时间是均匀分布的，概率密度函数为 1/60。

综上所述，乘客等候时间的数学期望 E(X) 可以计算如下：

E(X) = (65 - X) * (1 / 3) + (120 - X) * (X / 60)
      = (65/3 - X/3) + (2X - X^2/60)

因此，乘客等候时间的数学期望为 E(X) = 65/3 - X/3 + 2X - X^2/60。