证明题设A为三阶正定矩阵，证明：A>0,A十>1

小九九

要证明矩阵A为三阶正定矩阵，需要满足以下两个条件：

1. A是对称矩阵：矩阵A的转置等于矩阵A本身，即A^T = A。
2. A的所有特征值都大于零：对于任意非零向量x，有x^TAX > 0，其中x^T表示向量x的转置。

首先，我们证明A>0，即证明矩阵A的所有元素都大于零。

假设A中的某个元素a_ij小于等于零，则考虑一个列向量x = [0, ..., 1, ..., 0]^T，其中1位于第i行。根据A的定义，有x^TAx = a_ij ≤ 0，这与A是正定矩阵的定义矛盾。所以，矩阵A的所有元素必须大于零，即A>0。

接下来，我们证明A十>1，即证明矩阵A的迹大于3。

矩阵的迹是指其主对角线上所有元素的和，即tr(A) = a_11 + a_22 + a_33。

由于A是正定矩阵，根据正定矩阵的定义，矩阵A的所有特征值都大于零。根据特征值的性质，特征值的和等于矩阵的迹，而特征值是矩阵A十的特征值。因此，我们有a_11 + a_22 + a_33 > 0，即A十>1。

综上所述，若矩阵A为三阶正定矩阵，则满足A>0和A十>1。