求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 的拐点。

小九九

要求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 的拐点，我们需要找到函数的二阶导数，并解方程 f''(x) = 0。

首先，对函数 f(x) 进行求导：

f'(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 + 9x)

应用求导法则，得到：

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

然后，对导数 f'(x) 再次求导，得到二阶导数 f''(x)：

f''(x) = d/dx (3x^2 - 12x + 9)

f''(x) = 6x - 12

我们将二阶导数 f''(x) 置为零，并解方程 6x - 12 = 0。

计算得到：

x = 2

这个解 x = 2 对应函数 f(x) 的可能拐点。

现在，我们需要判断这个解所对应的拐点是凹向上还是凹向下。我们可以通过二阶导数的符号来进行判断。

当 x < 2 时，代入 x = 1，得到 f''(1) = 6 * 1 - 12 = -6，表明在 x = 1 处函数凹向下。

当 x > 2 时，代入 x = 3，得到 f''(3) = 6 * 3 - 12 = 6，表明在 x = 3 处函数凹向上。

因此，函数 f(x) 在 x = 2 处可能有一个拐点。

请注意，这里使用的是可能性的描述，还需要进一步验证和分析来确定确切的拐点。