求函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 的极值点。

小九九

要求函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 的极值点，我们可以通过求导和解方程的方法来找到。

首先，对函数 f(x) 进行求导：

f'(x) = d/dx (2x^3 - 5x^2 + 3x)

应用求导法则，得到：

f'(x) = 6x^2 - 10x + 3

然后，我们将导数 f'(x) 置为零，并解方程 6x^2 - 10x + 3 = 0。

这个二次方程可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解。

如果我们使用求根公式，即使用二次方程的根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，其中 a = 6，b = -10，c = 3，带入计算后得到：

x = [10 ± √((-10)^2 - 4 * 6 * 3)] / (2 * 6)

计算后得到两个解：

x₁ ≈ 1.0，x₂ ≈ 0.5/3 ≈ 0.167

这两个解分别对应函数 f(x) 的可能极值点。

现在我们需要判断这些解所对应的极值是极大值还是极小值，或者是拐点。我们可以通过二阶导数的符号来进行判断。

对 f'(x) 进行求导，得到二阶导数 f''(x)：

f''(x) = d/dx (6x^2 - 10x + 3)

f''(x) = 12x - 10

我们将 x₁ ≈ 1.0 和 x₂ ≈ 0.167 分别带入 f''(x) 计算二阶导数的值：

f''(x₁) ≈ 12 * 1.0 - 10 ≈ 2.0

f''(x₂) ≈ 12 * 0.167 - 10 ≈ -8.0

根据二阶导数的符号，当 f''(x) > 0 时为极小值，当 f''(x) < 0 时为极大值。

因此，当 x ≈ 1.0 时，函数 f(x) 可能有极小值；当 x ≈ 0.167 时，函数 f(x) 可能有极大值。

请注意，这里使用的是可能性的描述，还需要进一步验证和分析来确定确切的极值点及其类型。